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基于GeoGebra構造多邊形與多邊形重疊部分動畫的5種方法

——以2012年吉林省中考第25題為例


2013-03-21 09:56:46   來源:   撰稿:楊帆(轉載)   攝影攝像:    ;  評論:0 點擊:

  【摘 要】本文使用GeoGebra的命令和工具,以2012年吉林省中考第25題為例使用5種方法構造多邊形與多邊形的重疊部分的動畫,展現了GeoGebra軟件的動畫制作功能的有效和強大.  【關鍵詞】GeoGebra;命令輸入...

  【摘 要】本文使用GeoGebra的命令和工具,以2012年吉林省中考第25題為例使用5種方法構造多邊形與多邊形的重疊部分的動畫,展現了GeoGebra軟件的動畫制作功能的有效和強大.
  【關鍵詞】GeoGebra;命令輸入框;多邊形;動畫

  多邊形與多邊形動態重疊問題是近年來各地中考的熱點問題,由于畫圖難度較大,學生解決問題難點多,借助數學動態軟件幾何畫板和GeoGebra制作直觀動畫能有效幫助學生思考和解決問題.用幾何畫板制作這類動畫往往技巧性強、完成難度大,但使用GeoGebra制作動畫相對簡單且方法多、易掌握.
  問題:2012年吉林省中考第25
  如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm,動點P從點A出發,沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動,動點Q從點B同時出發,沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動.當點P到達點B時,PQ兩點同時停止運動.以AP為一邊向上作正方形APDE,過點QQF∥BC,交AC于點F.設點P的運動時間為ts,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面積為Scm2
  (1)當t=_____s時,點P與點Q重合;
  (2)當t=_____s時,點DQF上;
  (3)當點PQB兩點之間(不包括QB兩點)時,求St之間的函數關系式.


  準備工作:
  1.啟動GeoGebra,點擊【查看】菜單,選擇使繪圖區顯示坐標系.
  2.選擇點工具在繪圖區構造自由點A,在命令框輸入B=Point[Ray[A,(x(A)+1,y(A))]],在以A端點水平向右方向射線上繪制點B;在命令框輸入C=(x(A),y(A)+2*Distance[A,B]),在A點正上方繪制點C使AC等于AB2倍.
  3.利用線段工具,繪制線段a(線段AB)、b(線段AC)和c(線段BC)構造滿題設條件∠A=90°AC=2AB的三角形.
  (注:以下四種繪圖方法都是分別在準備工作的基礎上進行.)

  第一種方法:利用指令IntersectRegion[&ltPolygon&gt,&ltPolygon&gt]
  (一)繪制正方形APDEQF
  1.選擇點工具在線段AB上繪制點P,在命令框分別輸入D=(x(P),y(P)+Distance[A,P])和E=(x(A),y(D))繪制出點DE,利用線段工具,繪制線段PDDE
  2.在命令框分別輸入pz=PathParameter[P]計算點P在線段AB的路徑參數值pz
  3.在命令框輸入Q=Point[a,1-pz]在線段a上繪制參數值為1-pz的點Q;在命令框輸入F=Point[b,1-pz]在線段b上繪制參數值為1-pz的點F,利用線段工具,繪制線段QF
  (二)繪制正方形APDE與梯形BCFQ重合部分
  1.在命令框輸入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D,D,D,D],IntersectRegion[Polygon[A,P,D,E],Polygon[B,C,F,Q]]]繪制出正方形APDE與梯形BCFQ重合部分poly1
  2.利用移動工具選擇點P進行拖動觀察運動過程正方形APDE與梯形BCFQ重合部分變化情況.
  (注:1.為方便計算和繪圖,當正方形APDE與梯形BCFQ沒有重合部分規定重合部分面積為0且重疊多邊形的頂點都為點D;2.用指令IntersectRegion[ ]構造重合部分在GeoGebra4.0.40.0以上版測試正常,而在GeoGebra4.0.38.0構造不正確.)

  第二種方法:構造交點用if指令構造重疊部分
  (一)方法同第一種方法第一部分操作.
  (二)構造交點
  1.在命令框分別輸入P_1=Point[a,0.4]P_2=Point[a,1/2]P_3=Point[a,2/3]繪制點P在運動路徑上的3個關鍵輔助點P1P2P3
  2.將點P移動到線段P1P2上,用點工具繪制出QFDEPD的交點GH;將點P移動到線段P3B上,用點工具繪制出BCDEPD的交點IJ
  (三)構造重合部分
  1.在命令框輸入poly1=If[pz&lt=0.4,Polygon[D,D,D],If[pz&lt=0.5,Polygon[D,G,H],If[pz&lt=2/3,Polygon[D,G,Q,P],Polygon[E,F,Q,P,J,I]]]]繪制出重合部分.
  2.隱藏繪圖輔助對象,只顯示點ABCDPQEF;利用移動工具拖動點P可動態觀察重合部分.

  第三種方法:用if
指令構造頂點構造重疊部分
  1.同第二種方法(一)、(二)兩步繪圖結果.
  2.如下右圖,重合部分邊數最多時為6邊形,有6個頂點,分別標為D1D2D3D4D5D6

  3.在命令框分別輸入
D_1=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,F]]D_2=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=2/3,G,E]]
 D_3=If[pz&lt=2/3,D,I]D_4=If[pz&lt=2/3,D,J]D_5=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,P]]
D_6=If[pz&lt=0.4,D,If[pz&lt=0.5,H,Q]],繪制出對應點P路徑參數值時各頂點.
  4.在命令框輸入poly1=Polygon[D_1,D_2,D_3,D_4,D_5,D_6]繪制出以D1D2D3D4D5D6為頂點的多邊形,為正方形APDE和梯形BCFQ的重合部分.
  5.隱藏繪圖輔助對象,只顯示點ABCDPQEF;利用移動工具拖動點P可動態觀察重合部分.

  第四種方法:頂點路徑追蹤
  1.在命令框分別輸入P_1=Dilate[B,0.4,A]P_2=Dilate[B,0.5,A]P_3=Dilate[B,2/3,A]Q1=Dilate[A,2/3,B]繪制PQ點路徑上輔助關鍵點P1P2P3Q1
  2.在命令框分別輸入D1=Rotate[A,-90°,P_1]D2=Rotate[A,-90°,P_2]D3=Rotate[A,-90°,P_3]D4=Midpoint[B,C]E1=(x(A)+0.5*Distance[A,P_2],y(A)+Distance[A,P_2])E2=(x(A),y(D3))E3=Dilate[A,0.5,C]分別構造重合圖形頂點運動路徑輔助關鍵點D1D2D3D4E1E2E3
  3.在命令框分輸入P=Point[PolyLine[A,P_1,P_2,P_3,B]]在折線AP1P2P3B上繪制動點P;在命令框中分別輸入D=Rotate[A,-90°,P]E=(x(A),y(D))Segment[P,D]Segment[D,E]分別構造點DE、線段PDDE
  4.在命令框中分別輸入Q=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],B]F=Dilate[A,Distance[P,A]/Distance[A,B],C]Segment[Q,F]分別以縮放方式構造點QF和構造線段QF
  5.在命令框中輸入pz=PathParameter[P]計算點P在折線AP1P2P3B上的路徑參數值;在命令框中分別輸入
D_1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,A],pz]D_2=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E3],pz]
D_3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D4],pz]D_4=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,B],pz]
D_5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_3,B],pz]D_6=Point[PolyLine[A,D1,P_2,Q1,A],pz]分別構造重合多邊形的6個頂點D1D2D3D4D5D6
  6.以下操作同第三種方法第45步.

  第五種方法:邊線運動追蹤
  1.同上第四種方法構造點P1P2P3D1D2D3E1E2E3
  2.在命令框中分別輸入Q1=Dilate[A,2/3,B]Q2=Dilate[A,2/3,B]構造Q點運動路徑輔助點Q1Q2
  3.同第4種方法第34步構造正方形APDE和梯形BCFQ
  4.在命令框中輸入pz=PathParameter[P]計算點P在折線AP1P2P3B上的路徑參數值;在命令框中分別輸入
L1=Point[PolyLine[A,D1,E1,E2,E2],pz]L3=Point[PolyLine[A,D1,D2,D3,D3],pz]
L5=Point[PolyLine[A,D1,P_2,P_2,P_2],pz]L6=Point[PolyLine[A,Q1,P_2,Q2,A],pz]構造邊線上輔助運動控制點L1L3L5L6
  5.在命令框中分別輸入l1=Line[L1,b]l2=Line[D,a]l3=Line[L3,c]l4=Line[D,b]l5=Line[L5,a]l6=Line[L6,c]分別通過過1點畫與線段平行的直線,構造重合部分各邊所在直線(注:a為線段ABb為線段ACc為線段BC).
  6.在命令框中分別輸入D_1=Intersect[l1,l6]D_2=Intersect[l1,l2]D_3=Intersect[l2,l3]D_4=Intersect[l3,l4]D_5=Intersect[l4,l5]D_6=Intersect[l5,l6]分別通過求兩直線的交點,構造重合部分多邊形的6個頂點.
  7.以下操作同第三種方法第45步.


  以上為構造為多邊形與多邊形動態重疊區域的五種方法.

  附錄
  
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